2018年北京林业大学林学院715数理统计(含概率论)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:容量为2的样本
【答案】
2． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
3． 设
是来自
，这两个常数因子的乘积为1.
的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令
相互独立.
则
的联合密度函数为
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的方差为
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
相差一个常数因子，
作变换
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且
4． 设T 是
证明:若
的UMVUE ,
，则，且
是的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
*
是0的无偏估计，
，
【答案】因为T 是即这说明
即
5． 设
的UMVUE ，是
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
6． 令【答案】
7． 设
是来自
的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
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时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
表示服从二项分布
最优.
的随机变量，试证明:
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
的任一无偏估计的C 一R 下界为
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