2017年中山大学数据科学与计算机学院663数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明数列
收敛，因此有公式
式中
577216... 称为尤拉常数，且当
所以
时，.
并利用该公式求极限
【答案】因为
于是有
各式相加得
于是
即所以
下界. 其次
单调递减. 从而数列{xn}收敛，设
即
它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知
两式相减得
所以
二、解答题
2． 设
【答案】记
则，
试证：当
时，显然
第 2 页，共 38 页
在
上连续，所以可在积分号下求导，即
令
从
当x = 0时
，
3． 求
【答案】
令导性知
又于是
4． 计算下列第一型曲线积分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
【答案】(1)
(2) 右半圆的参数方程为
从而
其中是以
为顶点的三角形；
从而
易知其收敛域为
由幂级数的逐项可
则
(C 为常数) ，
所以
因此，
当
时
，
故
其中是以原点为中心，为半径的右半圆周； 其中为椭圆，其中为单位圆周.
其中
为螺旋线
在第一象限中的部分；
的一段；
的一段；
与
相交的圆周.
其中是曲线_
其中是
第 3 页，共 38 页
(4) 由于圆的参数方程为从而
(5)
(6)
(7) 其截线为圆
5． 已知反常积分
【答案】注意到
因为反常积分另外
对于固定的
在
由阿贝尔判别法知，
6． 求方程
【答案】
设
增. 由于
收敛且与y 无关，所以
都单调，且在上一致收敛.
所以
所以实根在区间于是取
现估计近似
根迭代。
由于
所以
第 4 页，共 38 页
其参数方程为
收敛，证明含参变量反常积分
1]上一致收敛. 在[0，
在[0, 1]上关于y —致收敛. 时，满足
即一致有界. 从而
的根的近似值，精确到
因为
在上严格递
内，在此区间上，
的误差
.
故
在上的最小值
为
而
不满足精度要求，继续