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一、证明题

1． 设

证明

并说明其中等号何时成立.

【答案】由于

因此

当且仅当

即

时，原不等式中的等号成立.

二、解答题

2． 研究函数

【答案】设由于当

又设因为

连续，则

时

丨在对x 求导得

. 一致有界，

单调递减趋于0，

在

上一致收敛，

的连续性及可微性.

且上连续.

收敛，故

在

上一致收敛，

所以由狄利克雷判别法知

故f (x ) 在

3． 设m , n 为正数，求积分

【答案】设

上可微.

的值.

由分部积分法得

从而

（利用余元公式、换元、B 函数更为简单）.

4． 通过对积分区间作等分分割，

并取适当的点集计算下列定积分：

【答案】（1）因

记其分割为

在取

上连续，所以为区间

在

上可积. 对

进行n 等分，得

，有

（2）同（1）

（3

）由

则

在

上连续知

，

在

上可积，

对

进行n 等分，

记其分割为

的右端点，

把定积分看作是对应的积分和的极限，来

取为区间

的右端点，得

（4）同（3）, 取

得

5． 求由下列曲线所围的平面图形面积：

【答案】⑴令

故

从而

x+y=a变换成(2) 令变换成

即

所以曲面面积为

(3)

令

时，

从

而

方

程

变

换

成

，由图形(如图) 的对称性可知图形面积：

变换成

从而方程

变换成

变换成

所以图形面积