2017年中山大学数据科学与计算机学院663数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明级数
【答案】因为按对角线相乘可得
*
所以两级数的乘积为
与
绝对收敛，且它们的乘积等于
故级数
.
绝对收敛，同理
也绝对收敛，
二、解答题
2． 质点P 沿着以AB 为直径的圆周，从点A (1，2) 运动到点B (3, 4) 的过程中受变力F 作用，如图所示.F 的大小等于质点P 到原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP 且与y 轴正方向的夹角小于
求变力F 对质点P 所做的功
.
图
【答案】设P 点的坐标为设
由题设，
由题设，
于是变力F 对质点P 所做的功为
由
于
的方程
为
t 从
到
从而
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则可表示为
(是尸方向的单位向量) ，故
所
以的参数方程可表示
为
3． 求下列函数的极值：
【答案】
的稳定点为值为
由
因为（3）
由
因（4）
由
4． 在曲线
得稳定点
为
上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是
上点P
坐标为
即曲线
由由方程组
在Q
点的切线斜率
得该曲线过点P 的切线斜率
解出切线与曲线的
因此
因
故
是
的极大值点，极大值
为
得稳定点为
故
和
是
因
故
是
的极小值点，
极小值为
得稳定点
为
故
因
是
故
是
的极大值点，极大值
为
的极小值点，极小值为
和
因为
不取极值。因为
由
由极值的第二充分条件知，
在
即
得在
处
处取极大值，极大
由极值的第三充分条件知，
的极大值点，极大值为
在P 处切线斜率的四倍.
【答案】设曲线切线方程为交点为
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即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.
5． 将以下式中的变换成球面坐标的形式：
【答案】
故有
对上述变換
有
因为
所以
故
6． 设大值.
【答案】先求f 在条件
下的最大值. 设
令
解得
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由教材第2题的结果，得
对变换
为已知的n 个正数，求在限制条件下的最
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