2018年大连海洋大学海洋科学601高等数学Ⅰ之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、选择题
1． 已知A 是三阶矩阵，r （A ）=1, 则
A. 必是A 的二重特征值 B. 至少是A 的二重特征值 C. 至多是A 的二重特征值
D. —重、二重、三重特征值都有可能 【答案】B
【解析】矩阵A
对应特征值
的线性无关的特征向量的个数特征值的重数
.
即
特征值，也可能三重.
例
2．
已知四维向量组且向
量
（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C
【解析】将表出关系合并成矩阵形式有
因四个四维向量故
初等行变换，
故有
线性无关，
是可逆矩阵，A 左乘C ，即对C 作若干次
必有两个线性无关特征向量. 故
但
的重数
即
至少是二重
（ ）。
是三重特征值.
线性无关，
则
故知
3．
若均是n 阶非零矩阵，且AB=0, 则必有
A.1 B.2 C.n-1
D. 条件不够不能确定
【答案】A
（ ）
【解析】若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×5矩阵，且AB=0, 则有 （1） B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解；
⑵秩
由（1
）知对于又因
r （B
）
知有代数余子式又因
有非零解，从而秩即A 中有n-l 阶子式非零.
于是
故必有r （B ） =1.
再根据（2）知
关于r （A ）也可由下面公式确定.
因为
是
中未知数个数为n , 方程个数为m ，系数矩阵4的秩为r . 则（ ）W 解
有唯一解
有啡-解
有无穷多解 则方程组所以C 项，
当
的增广矩阵化为阶梯形矩阵时，阶梯形矩阵不为有解；B 项，当A 为方阵时方程组有惟一解的充要，
时
不一定等于r , 方程组不一定有解；D 不一定有解.
方程组
有
于是
那么再由
知
因此只能
4．
非齐次线性方程组
A. B. C. D.
时.
方程组时.
方程组时，
方程组时.
方程组
【答案】A 【解析】A 项，
由于
0的行数为m
,
条件是矩阵A 可逆，
即项，当
时，
不能保证
5．
已知方程组
A.-1 B.10 C.1
有两个不同的解，则（ ）。
D.2 【答案】C
【解析】线性方程
组
因为
有两个不同的
解
有无穷多
解
令
把
得
代入原方程组，有
因为
6．
矩阵
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】BD 两项，
若是A 的特征向量，那么项，由
由特征向量.
C 项，
由
知
，
：是A 的特征向量.
知
与
的坐标应当成比例.
知
_
与
坐标不成比例，
所以
不是A 的
仍是A 的特征向量. 因此，排除A
故知
时方程组有无穷多解.
有一个特征向量是（ ）。
二、填空题
7．
四元齐次线性方程组
【答案】
的基础解系是_____.