2017年南开大学统计研究院845高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算曲线积分正方形的边界。
【答案】设这四条直线所围成的区域是正方形区域记则
，其中C 是由四条直线
围成的
显然，它们在闭正方形区域D 上都连续。由格林公式得
2． 已知曲线L 的方程为算曲线积分
【答案】由题意，假设参数方程
3． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？
【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·
即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.
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，起点为A （0，
，从到
，0），终点为B （0，，0）计
，则
4． 一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成。试求当一质量为m 的质点沿圆周针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功。
【答案】依题意，
t 从0变到，因此
5． 不用求出函数并指出它们所在的区间。
【答案】函
数少存在
,
,
分别
在
内可导,
且
, 使
即方程
至少有三个实根, 又方程
的导数, 说明方程
按逆时
有几个实根,
上连续, 分别
在
由罗尔定理知至
为三次方程, 故它至多有三个实根, 因此
内。
为顶的曲顶
方程有且仅有三个实根, 它们分别位于区间
6． 计算以xoy 面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面:柱体的体积.
【答案】如图所示，设
由于曲顶柱体关于zox 面对称，故
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图
7． 已知两点
【答案】
（0，1，2）和
（1，﹣1，0）. 试用坐标表示式表示向量
及
.
=（1，﹣0，﹣1﹣1，0﹣2）=（1，﹣2，﹣2）
=﹣2（1，﹣2，﹣2）=（﹣2，4，4）
8． 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F （单位:N ）与伸长量:（单位:cm ）成正比，即F=ks（k 是比例常数）. 如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算所作的功.
【答案】
9． xOy 坐标面上的双曲线的方程.
【答案】以
周而生成的旋转曲面方程为
即
以
的旋转曲面方程为
即
10．按（x-4）的幂展开多项式
【
答, 。
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分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面
代替双曲线方程
中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一
代替双曲线方程中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成
案
,
】
,
因
,
为