2017年常州大学数理学院601理学数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、解答题
1． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
2． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
为任意常数。
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，则 ，
满足
求f （u ）的表达式。
可知，这是一个二阶常用系数线性
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故
3． 求由方程的极值。
【答案】在原方程两边同时对X 求导得
的表达式为
代入，可得
其中
确定的函数为为任意常数。
在原方程两边同时对y 求导得
在
两式中，令
，解得
将其代入已知方程得导得
式两边对y 求导得
当
时，
，将其代入
三式中，得
则函数Z 在当
处取得极小值
时，
。
，并将其代入
，得
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，故驻点为和，式两边对x ，y 分别求
故Z 在点
处取到极大值
。
4． 求下列各微分方程的通解
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
令
则且原方程化
为分离变量，
即
再积分得通解 （5）令
则
且原方程可化为
利用一阶线性方程的求解公式，得
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得积分
得
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