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一、计算题

1． 已知函数序列

（1）问（2）证明

取多大，能使当

在

在任一有效区间[a, b]上一致收敛。

，因此对于正数ε，取

则

故

取

当

时，对一切

都有

即

在

上一致收敛于0.

2． 求下列函数的最大值、最小值:

【答案】（l ）函数在令

, 得驻点

上可导, 且, 比较, 最小值为上可导, 且上可导, 且,

比较

,

得函数的最大值为

,

于是

则

上收敛于0.

时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？

【答案】（1）由于当

就有（2）记

得函数的最大值为（2）函数在（3）函数在令最小值为

,

得驻点

3． 利用定积分的几何意义, 求下列积分:

【答案】（l ）根据定积分的几何意义,

表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直

, 故有

以及x

, 梯形的高为

,

角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为

（2）根据定积分的几何意义,

轴所围成的梯形的面积,

该梯形的两底长分别为因此面积为21。故有

（3）根据定积分的几何意义,

。

表示的是由直线

表示的是由直线

以及x 轴所和x 轴所围

围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为

由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此（4）根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有

4． 求下列幂级数的收敛区间：

【答案】（1）

因

故收敛半径为（2）

收敛区间为

因

表示的是由上半圆周

以及x 轴所围成的

故收敛半径为（3）令因

级数的收敛区间为

（4）令

，原级数成为

由第（3）题知该级数的收敛区间为

因

即

收敛区间为

先讨论级数

的收敛区间。

的收敛区间为

从而原

故收敛半径

故原级数的收敛区间为

5． 用对称式方程及参数方程表示直线

【答案】根据题意可知已知直线的方向向量

取x=0，

代入直线方程得

. 因此直线的对称式方程为

，

解得.

这样就得到直线经过的一点

参数方程为