2017年河南师范大学507数学分析与高等代数之数学分析复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 求下列极限(其中
(1
) (2
)
【答案】(1) 考察级数因P>1，故级数
收敛，据柯西收敛准则，任意
存在N ，当n>N时，有
从而，原式=0. (2) 考察级数因P>1时级
数
收敛，故由柯西收敛准则，任
意从而，原式=0.
2． 设
可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有
则
又 3． 设
为定义在平面曲线弧段
上的非负连续函数，且在
上恒大于零.
试问在相同的条件下，第二型曲线积分【答案】不一定成立，
如取
4． (1) 计算积分
(2) 设
在闭正方形
上连续，且满足下列条件：
证明存在
这里A 是(1) 中的积分值. 【答案】(1) 如图所示：
使得
为从
到
是否成立? 为什么？
的直线段，
取
则
所以
即
说明函数，在点P (x ，y ) 的梯度向量与1垂直.
试问此函数，有何特征？ 存在N ，当n>N时
，
) ：
【答案】设上确定向量1的方向余弦为
图
所以
由积分中值定理知，存在
使
故
5． 试讨论方程组
在点【答案】令
在点
的某邻域内连续；
均在点
故由隐函数组定理知，
在点函数组.
6． 设函
数
时的
【答案】因
的附近能否确定形如的隐函数组？ 则
的邻域内连续；
的附近所给方程组能确定形如的隐
是由
方程组(u, v 为参量) 所定义的函数，求当所以当
二、证明题
7． 证明：若正项级数
收敛，且数列
单调，则
又由从而又从而
8． 设
【答案】因为
所以
9． 证明以下数列发散：
(1
) (2
) (3
)
.
易知，若一个数列收敛于a ，则它的任何子列也收敛于a ，
数列
收敛于1，而奇数项组成的子列的第2k 项为
收敛于一1，从
的偶数项组成的子列
而数列
(3)
令
}发散.
(2) 收敛数列必有界. 而数列
发散.
则
于是
数列
的两个子列的极限不相等，故数列
发散.
于是这个数列是无界的，从而
. 证明：
故
单调可知
必单调递减(否则级数
发散) ，从而
故
存在N , 当n>N时，有
【答案】因为正项级数
收敛. 故由柯西收敛准则，任意的正数
【答案】(1)
由定理
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