2017年天津理工大学高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
2． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长。
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【答案】（1
）
。
（2）
3． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）
第 2 页，共 35 页
（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
（6）原方程分离变量，得可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为
或写成
第 3 页，共 35 页
，分离变量得
，即
。 ，积分
得
，即通解
为
，
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
，两端积分
，分离变量，得
，两端积分，得
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解，得
，
或写成
（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为（10）原方程分离变量，得
, 两端积分，得
，两端积分，得
即
4． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】
或写成，故原方程的通解为。
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
二、计算题
5．
设
是
上从
取得最大值。
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
到
的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
第 4 页，共 35 页