2017年曲阜师范大学高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数
满足
，且
，求曲线
所成
的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。
【答案】由于函数连续函数；又
故知令
，可得
，得到
；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线
2． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
，又令
，有，即
，
。
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
满足
，
所
，故
，其中C （x ）为待定的
成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积为
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
故在变换
下，
则
将
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
代入上式，
。又令，代入
，令，有
，
则
，即
，因
，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
即
类型的，
一般可令
积分
，又令
即，得
，有
，
（4
）将原方程写成
。令
得将
3． 求下列伯努利方程的通解
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故即
为所求通解。
并
令
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成于是原方程化为
即
为所求通解。
并令
，并令
（2）将原方程改写
成
则且原方程化
为
，并令则
（4）将原方程改写成且原方程化为
则