2017年天津理工大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）由
，故
（3）由
得
由
得
，不妨取
注：取
，可得同样结果。
2． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
与
都是当
时的无穷小，但
，却
，由①式得
，故
得
，将
及
代入以上两式，得
=5，将x=0，y=5代入函数关系中，得c=-25，即
，将x=0，y=0及
。
代入以上两式，
得
不是当时的无穷小。
3． 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:
【答案】（1）令
则
且原方程变为
分离变量，得
积
分得arctan=x+C, 即u=tan（x+C）, 代入u=x+y, 得原方程的通解y=-x+tan（x+C）。
（2）令u=x-y,
则
u=x-y，得原方程的通解
（3）令u=xy，则
且原方程变为
且原方程变为
即令
即
即udu+dx=0,
积分得，代入
即积分得
即
代入u=xy。得原方程的通解（4
）将原方程写成
即
积分
得
（5）原方程改写成原方程变为
积分
得
则
，代
入
且原方程变为
得原方程的通
解
令u=xy，即
整理并分离变量，得
则
且
代入u=xy，并整理，得原方程的通解
为
4． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入（s ）。
，代入初始条件：t=0，h=0，得
，即得，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
二、计算题
5
．
确。
【答案】在单连通区域G 内，
若
为某二元函
数
本题中有
具有一阶连续偏导数，
则向量的梯度（此条件相当
于
在G 内恒成立。
定
常
数
，
使
在
右
半
平
面
内
的
向
量
为某二元函
数
的梯度，并
求
是u （x , y ）的全微分）的充分必要条件是
由等式
得到
由于
在半平面x>0内，取
，故
即
则得
6． 设f （x ）是周期为2π的函数，它在
将f （x ）展开成傅里叶级数。
【答案】f （x ）满足收敛定理的条件，且除了
上的表达式为
外处处连续。
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