2017年天津理工大学高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
2． 求下列微分方程的通解:
（1）（2）（3）（4）（5）
第 2 页，共 26 页
（6）（7）（8）（9）（10）【答案】（1）
（2）将方程改写成
，则
（3）
（4）
（5）将原方程写成
，则
（6）
（7）
（8）将原方程写成
，则
第 3 页，共 26 页
（9）
（10）将原方程改写成
，则
3． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
再积分，
得
于是所求积分曲线的方程为
4． 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:
【答案】（1）令
则
且原方程变为
分离变量，得
积
分得arctan=x+C, 即u=tan（x+C）, 代入u=x+y, 得原方程的通解y=-x+tan（x+C）。
（2）令u=x-y,
则
u=x-y，得原方程的通解
（3）令u=xy，则
且原方程变为
且原方程变为
即
即
积分得
即
即udu+dx=0,
积分得
，代入
代入u=xy。得原方程的通解
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