2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育(二)之高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
2． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】
3． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
，代入
即
得
，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
，则
，
4． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
，即微分
二、计算题
5． 计算
，其中
是由平面z=0，z=y，y=1以及抛物柱面
【答案】解法一:容易看出
，区域
由
和
的顶为平面
，底为平面
，
在
面上的投影
可用不等式表示为
因此
所围成的闭区域.
所围成。故
解法二：由于积分区域属于
，且被积函数）
关于
面对称（即若点
，则
，因此
）
6． 计算
（1）抛物线
，其中L 是：
上从点（1，1）到点又（4，2）的一极弧；
也
关于是积函数（即
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；
，然后再沿直线到点（4，2）的折线; （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2）（4）曲线
上从点（l , l ）到点（4, 2）的一段弧。
，y 从1变到2，则
（2）L 的方程为
，即
，y 从1变到2。化为对y 的定积分计算，
【答案】（1）化为对y 的定积分。
有
（3）记L 1为从点（1，1）到点（1，2）的有向线段，L 2为从点（1，2）到点（4，2）的有向线段。则L 1: x=l，y 从1变到2;
，x 从l 变到4。在L 1上，dx=0; 在L 2上，dy=0。于是
因此
（4）由
，可得t=0；由
可得t=1。因此
7． 求函数
【答案】
在点
的泰勒公式。
函数为2次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数均为零。又
将以上各项代入泰勒公式，便得
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