2018年华东交通大学理学院821数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内除仅有的一个点外都可导. 求证:, 使得
【答案】设函数f （x
）在点处不可导. 分别在（a , d ）上和在（d , b ）上对f （x ）用微分中值定理,
可得
和
其中
由此可得到
其中
2．
老
推得进而
收敛吗？ 【答案】
由
收敛. 若仅知道则
收敛, 未必有
收敛. 如
且
收敛,
但
发散.
可得
又因为级数
绝对收敛,
故级数
丨收敛,
且级数
绝对收敛, 证明级数
也收敛.
若上述条件中只知道
收敛, 能
和
. 将以上两个等式相加, 可得
,
二、解答题
3． 己知
为三维空间中的有界区域,
的边界为分段光滑的曲面,
于是有
为外法向量, u （x , y , z ）在
上连续可偏导. 求证
:【答案】不妨设
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4． 试问集合
与集合
是否相同？
【答案】给出的两个集合是不相同的, 第一个集合挖去了两条线段及
5． 求方程
【答案】令
第二个集合挖去了一个点（a , b ）. 恰有三个实根的条件. , 如图所示.
图
由图可见, 当
时, 方程
恰有三个实根.
6． 设f （x ）在区间I 上连续, 并且在I 上仅有惟一的极值点x 0, 证明:若而是f 的极大（小）值点, 则x 0必是f （x ）在I 上的最大（小）值点.
【答案】用反证法,
只对x 0是
f 的极大值点的情形进行证明. 假设x 0不是f （x ）在I
上的最大值点,
则存在一点在
, 使
,
使得
, 取
（不妨设
, 则当
.
由连续函数的最大最小值定理知, （f
x ））
时,
, 即
是f
上存在最小值m. 因为
, 而x 0是f （x ）的一个极大值点, 所以存在
（x ）的一个极小值点, 这与在I 上仅有惟一极值点x 0矛盾. 故原命题成立.
7． 求积分值, 其中L 为包围有界区域的封闭曲线, n 为L 的外法线方向.
【答案】域的面积.
, 其中为封闭曲线L 所围区
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8． 求
【答案】由
的极值.
解得稳定点为（1, 1, 1）和（-1, -1, -1）. 又
于是函数在点（1, 1, 1）和点（-1, -1, -1）的海森矩阵分别为
而H 1为正定矩阵, H 2为负定矩阵, 所以（1, 1, 1）为极小值点,
极小值为极大值为 9． 把
其中f （u ）为连续函数.
【答案】令
由于
所以
为极大值点,
上的n （
）重积分
化为单重积分,
则