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一、证明题

1． 利用级数收敛性, 证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为x n , 所以证

存在归结

【答案】令为证级数收敛. 因

由于若记 2． 设

为

内的有界函数. 证明:

【答案】因为

在

内有界, 则存在

使得

. 对任意

利

在

内一致连续当且仅当

其中

, 推出级数, 则

丨.

收敛, 也就是

存在, c 称为欧拉常数,

用拉格朗日中值定理, 得

其中介于

和

之间, 显然有

于是有

由此可知

连续当且仅当,

在

内一致连续当且仅当

结论得证.

’, 求证:

,

在

内一致连续

,

在

内一致

3． 设f （x ）在（a , b ）内可导

,

使得

且

【答案】取y>0足够大, 使得

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则有

再由拉格朗日定理,

使得

联合（1）式与（2）式, 即得

4． 设

当当即

, 且

. 求证

:

时,

时, 结果显然成立.

时, 利用一个显然成立的不等式

:

可导出:

有

因此, 取因此,

. 于是当

在

设时, 有

上一致连续.

, 令

, 则

。

在区间

上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当

二、解答题

5． 设

（1）垂直于x 轴； （

2）平行于z 轴； （3）恒为零向量. 【答案】 （1

）

即2x=3xy.

（2）若gradu 平行于z 轴，则

（常数）

即

（3）gradu 恒为零向量，则

即

解得

|或

试问在怎样的点集上gradu 分别满足:

由

gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是（0，

0, 1

）, 故

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6． 已知数列

【答案】

, 设

已知, 则

7． 求下列各曲线在指定点处的曲率:

（1）xy=4, 在点（2, 2）; （2）y=Inx , 在点（1, 0） （3）（4）【答案】（1）

,

,

在,

,

在的点

, 于是曲线在点（2, 2）处的曲率为

（2）

, 于是曲线在点（1, 0）处的曲率为

（3）

所求的曲率为

（4）

,

,

8． 设

（1）求（2

）

,

在点（0, 0）是否连续?

的点

的极限存在, 求此极限.

（3）f （x , y）在点（0, 0）是否可微. 【答案】（1）当 x=y=0 时,