2018年济南大学数学科学学院605数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 试证明:
二次型
值和最小值恰好是矩阵
的最大特征值和最小特征值. 【答案】设
, 令
①x ＋②y ＋③z 结合④式, 得由①, ②, ③知是对称矩阵
的特征值. 又f 在有界闭集恰好是矩阵
的最大特征值和最小特征值.
2． 按定义证明下列函数在其定义域内连续:
（1）（2）【答案】（1）设
-的定义域是
对于任给的
, 限制
得
在其定义域内连续.
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在单位球面上的最大
上连续, 故最大值、最小值存在, 所以最大值和最小值
, 因为f （x ）的图像关于原点对称,
, 由
所以只需对x>0的情形进行证明.
. 取, 则当时, 于是, f （x ）
（2）f （x ）的定义域是R , 任取由是,
3．
设
在其定义域内连续.
.
, 取
, 则当
时,
, 于
知, 对于任给的
, S 为一封闭曲面, r=（x , y , z ）, 证明当原点在曲面S
外、上、内时分别有
【答案】因为
所以, 当（x , y , z）
（0, 0, 0）时
（1）（0, 0, 0）在S 的外部时, 由高斯公式, 有
（V 为S 所围的区域）
（2）（0, 0, 0）在S 上时,
为无界函数的曲面积分, 且
.
收
如果S 在（0, 0, 0）是光滑的, 由类似于无界函数的二重积分的讨论, 可知反常积分敛.
同样, 取充分小的
, 记为以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面, 用S 1表示从S 上被截下
而不被所包围的部分曲面, S 2表示上含在V 内的部分, 则
其中, S 2取内侧. 因为S 在点（0, 0, 0）是光滑的, 在点（0, 0, 0）有切平面, 所以S 在点（0, 0, 0）的附近可用这个切平面近似代替, 即S+2可看作的半个球面, 故
（3）（0, 0, 0）在S 的内部时, 取充分小的内部, 记为S 和所围成的区域, 取内侧, 则
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, 使以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面在V
4． 设是集合E 的全体聚点所成的点集
,
【答案】因为
是
的一个聚点, 所以
是的一个聚点. 试证:
自
设
又因为
是集合E 的全体聚点所成的点集, 因此是E 的一个聚点. 所以
又因为
, 因此.
即是E 的一个聚点,
所以
二、解答题
5． 试改变下列累次积分的顺序:
【答案】（1）积分区域
如图1, 由于V 在xy 平面上的投影区域
图 1
从而
由于V 在yz 平面上的投影区域从而
|
由于V 在zx 平面上的投影区域从而
（2）积分区域
如图2,
图2
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