2018年西安财经学院统计学院601理学数学之概率论与数理统计教程考研核心题库
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一、证明题
1．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
2． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
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【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
. 所以，所以，所以是来自正态总体
是
，由，由
.
，由（3）（有限交）得，
的一个样本，若均值已知，
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
从而
的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效.
3．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
4． 设
证明:
时上式达到最小，最小值为
，它小于的均方误差
.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
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【答案】因为由马尔可夫大数定律知 5． 证明:
【答案】不妨设另一方面，还有
. ，则
服从大数定律.
所以由
的独立性可得
综合上述两方面，可得
6． （1）设分布函数
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
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和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差的
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
雅可比行列式绝对值为
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