2018年西安财经学院统计学院601理学数学之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）
各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
2． 设
所以
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
3． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
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故有
即X 与Z 不独立.
，则诸同分布，且由
，所以有
，知|
存在且相等，
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
4． 总体
（1）证明
，其中
是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是该二元正态分布族的充分统计量.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
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下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
5． 设总体单随机样本. 证明:
（1）
是
的无偏估计量但
不是是
的无偏估计量. 的无偏估计量. , 故
又即证
是的无偏估计量, 但
不是
的无偏估计量.
即证
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是的相合估计.
（即X 服从于参数为的泊松分布）, 其中
是来自总体的简
（2）样本函数
【答案】 （1）由题意知, 又则
相互独立, 且
（2）由得
是的无偏估计.