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一、证明题

1． 按

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）

对任意

由

则当

时.

（2）因为

所以

对任意

由

得

取

则当

时,

（3）当n 为偶数时,

当n 为奇数时,

对任意

2． 证明:反常积分

【答案】因为

在

上一致收敛. 所以有

又因为

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定义证明:

故

取则当时, , 故

收敛, 根据魏尔斯特拉斯判别法可知, 反常积分

3． 设可微函数列

对任意且m 个小区间因为有

对任意

必存在某小区间

使

在[a

, b]上收敛, , 在[a, b]上作分割

在上一致收敛.

在

[a, b]]上一致收敛.

及任意

均有

在[a, b]上一致有界,

证明

:

【答案】依题意, 在

[a, b]上一致有界,

故存在M>0, 对一切

的区间长度

满足

在[a, b]上收敛, 所以对于点

存在N

, 使得当

n>N时

, 对任意

由微分中值定理,

可得

即对任意从而

存在N , 当n>N时, 对任意有

在[a, b]]上一致收敛.

满足关系

4． 设定义在[a, b]

上连续函数列

对于在[a,

b]上的可积函数f , 定义

证明

:

收敛,

且有不等式

【答案】

设

依题意可知

与

均在[a, b]上可积.

其中

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所以

故

即级数

5． 证明

:若

【答案】由

的构造, 知

则数列

且

所以, 数列设以

单调递减且有下界, 故其必收敛.

对

两边取极限, 得

解之, 得

所

收敛, 求其极限。

的部分和有上界, 从而

收敛, 且

6． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】构造集合H 覆盖闭区间

即

.

用反证法. 若

使

, 则则

, 由H 覆盖闭区间, 所以

这与

知, 必存在

矛盾. 因此

使

取

和

能被H 中有限个开区间覆盖, 把

. 加上, 就得到

, 所以存在一个开区间

能被H 中的有限个开区间覆盖

.

从而

能被

H 中有限个开区间覆盖}.明显, S 有上界

. 又因为

, 使,

即

.

取

.

由确界原理可知, 存在

, 则

,

下面证明

也能被H 中有限个开区间所覆盖, 所以所以定理结论成立

.

二、解答题

7． 求下列函数的高阶微分:

（1）设（2）设【答案】（1）

, ,

求, 求

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