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一、证明题

1． 设

b]上绝对且一致收敛.

【答案】因为又由

收敛, 即 2． 设

证明:【答案】因为又因为对上述任给的

从而对任给的从而对上述只需取

存在

当

存在

使当

时, 就有

时, 有

使当

. 时, 有

与

是[a, b]上的单调函数, 故对任意

均绝对收敛, 得

收敛, 从而

在[a, b]上一致

在[a, b]上绝对且一致收敛.

且在

附近有

是[a, b]上的单调函数, 证明:若

与

都绝对收敛, 则

在[a,

故

. 证明:

, 使得

3． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

【答案】将结论变形为

进而写成

由使

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可以看出, 首先应对f （x ）和在[a, b]上应用柯西中值定理. 这样就有,

在式（1）中,

若, 即

再结合式（2

）, 问题就解决了. 而对f （

x ）在

[a,

b]上应用拉格朗日中值定理即可知式（

3）成立.

4． 设二元函数

证明:对任意

【答案】应用微分中值定理, 有

其中介于x 1与x 2之间, 介于

5． 证明:任何有限数集都没有聚点.

【答案】用反证法. 设S 是一个有限数集. 假设是S 的一个聚点, 按照定义2, 在的任何邻域内都含有S 中无穷多个点

, 这个条件是不可能满足的, 因为S 是一个有限集

. 故任何有限集都没有聚

点.

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． 证明:若f （x ）在[0, 1]上可导, 且f （0）=0, 对

【答案】

,

由于f （x ）在[0, 1]上连续, 从而f （x ）在[0, 1]上有界, 即于是已知

有

, 故当

时有f （X ）=0

卿f （1）=0.从而

有f （x ）=0.

因为f （x ）在点x=l左连续, 所以

有

与

之间.

在区域

成立

.

上可微,

且对

, 有

有, 则

二、解答题

7． 试作适当变换, 计算下列积分:

（1）（2）

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【答案】 （1）令于是

, 则

（2）令于是

8． 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成

【答案】如图所示, 静压力的微元

角斜沉于液体中. 设a>b, 长边平行于液面, , 则

则

上沿位于深h 处, 液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力.

图

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． 设f （x , y）为定义在平面曲线弧段

（1）试证明

是否成立? 为什么?

使

这里

为

的弧长, 又f （x , y ）在

上恒大于零, 则

（2）不一定成立, 如取

=1, 则为从A （

0, 0）到B （0, 1）的直线段, 取f （x , y ）

内那部分的面积.

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上的非负连续函数, 且在上恒大于零.

（2

）试问在相同的条件下, 第二型曲线积分【答案】（1）由题意知, 存在点

, 所以由①知

.

10．求曲面az=xy包含在圆柱

【答案】设曲面面积为S. 由于