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一、解答题

1． 计算下列积分:

【答案】被积函数

其中D 1, D 2, D 3和D 4见图

.

2． 已知

【答案】令

则

求

所以

3． 质点P 沿着以AB 为直径的圆周, 从点A （1, 2）运动到点B （3, 4）的过程中受变力F 作用, 如图所示.F 的大小等于质点P 到原点O 之间的距离, 其方向垂直于线段OP 且与y 轴正方向的夹角小于

, 求变力F 对质点P 所做的功

.

图

【答案】设P 点的坐标为（x , y）. 由题设, 设由题设,

于是变力F 对质点P 所做的功为

由于t 从

的方程为到

. 从而

4． 设f 为R 上连续函数, 常数

. 记

证明:f 在R 上连续. 【答案】（1）证法一, 因为

而f （x ）、c 连续, 由连续函数的代数运算知, F （x ）在R 上连续. （2）证法二, 设

, 所以

的参数方程可表示为

,

, 则r 0可表示为

（F 0是F 方向的单位向量）, 故

则u （x ）处处连续, 又因为f （x ）连续, 由连续函数的运算法则知, 复合函数也是连续的.

（3）证法三, 直接用连续函数的定义证明. 设当

.

当若因此当对

5． 设f , g 在

时,

且

所以

若F （x ）=C, 则

时, 总有

同样可得, 故F （x ）在x 0连续.

上可积, a n , b n 和

分别表示f 和g 的傅里叶系数, 则

【答案】写出f+g和f －g 的巴塞伐尔等式:

将上两式相减可得结论. 6． 设

求极限

时,

设

, 由F （x

）的定义知

. 当

时, 显然F （x ）在连续.

, 因为f （x ）在x 0连续,

所以

, 则F （x ） =f（x ）, 所以

【答案】因为

且

所以当时,

当

时,

二、证明题