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一、证明题

1． 设f （x ）在区间上有界, 记

, 因为, 即M-m

是

对

, 由

知

, 使得

为E 的直径. 证明:存在知,

对

则存在

使使得

则令

3． 设f （x ）在其中C 为一常数, 试证:

【答案】

在

若由于当故当所以

在

在则存在

上连续可微, 并且

上连续,

上一致连续, 从而

对任给

上一致连续, 对于且时, 有

时, 有在存在

存在

上也一致连续. 使得

如果

（当

, 时）

得

即

由于E 为闭集. 从而

而

. 同理证明:

【答案】对从而

的一个上界.

, 使得

, 所以

’所以有

,

综上所述:

2． 设

是有界闭集

,

【答案】由

均为有界闭集E 中的点列, 从而有收敛子列

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根据柯西准则, 此即表明

4．

设

f 在有界开集

E 上一致连续, 证明:

（1）可将f 连续延拓到E 的边界

； （2）f 在

E 上有界. 【答案】记⑴若空, 任取

（ii ）若任给

于是对上述的故

（iii ）若

则

从而当n> N时,

收敛, 部

. 存在

N , 当

存在.

且

,

存在

当

则

则

且且

为E 的边界,

使

i

发散, 这与已知条件矛盾, 所以假设不成立, 即应有

分以下几步证明.

事实上,

若

也存在.

事实上, 由

f 在E 上一致连续可知:对

时

从而由①知

①

时,

则对任一

非

存在,

则

由②知存在N , 使当时,

②

因此由①知

再由（ii ）知故由③知

由（i ） - （ii ）知

:

对每个

P 的点列）. 定义

则F 为定义在

E 上的函数. 显然F 为f 到上的一个延续

. 下证F 在上连续. 设时,

则

或是

当

时, 由E 为开集知, 存在

可见F 在P 0连续.

与.

存在惟一实数

与之对应（其中

都存在.

③

为E 中任一收敛于

于是当|

因为f 在P 0连续, 从而

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当由（iii ）知

|

时

其中为E 中趋于P 0的点列, 对E 中任一趋于P 0的点列

,

故由归结原则（定理的推论）知, 存在且等于, 故F 在P 0连续.

反是有界闭集且

,

由此可见:F 是f 的一个连续延拓, 即f 可以连续地延拓到E 的边界上, 由于F 在上连续, 从而F 在上有界, 因此F 在E 上有界, 而在E 上

故f 在E 上有界.

5． 证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根.

【答案】设有一个奇次方程为则

由

. 于是,

知,

存在正数与

,

使得

.

由

, 其中

, 设

. 令

知,

存在负数,

使得

异号. 由根的存在定理知, f （x ）=0在内至少有一个根. 故任

一实系数奇次方程至少有一个实根. 6． 证明:若函数f 在上连续, 且点, 使

.

内不存在使

, 使得

【答案】用反证法. 如果在

）总成立. 否则, 若存在

值定理, 存在

设当

, 使得时,

. 再由f

,

, 则当

, 则在

时,

内至少有一

（或

. 根据连续函数的介

可得

*

. 这与假设矛盾.

故

这与题

设矛盾. 故

在内至少存在一

点

使

二、解答题

7． 求下列级数的收敛域.

（1）（2）（3）

.

, k> 1为整数;