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一、证明题

1． 证明:设则

在D 上一致收敛于f. 【答案】因为任意

故所以

2． 证明:闭区间

【答案】设:设

, 不妨设

及

又

的全体聚点的集合是的全体聚点的集合是M.

则

中有无穷多个实数, 故a 是

则

故的任意邻域内都含有设.

故综上所述,

3． 证明:若函数

且则在

在区间[a, b]上连续,

内至少存在一点, 使得

在区间

上有最大值M , 最小值m , 不妨设

.

则对

由闭区间上连续函数的介值定理, 可知在

内至少存在一点, 使得

,

令

, 即闭区间

的全体聚点的集合是

本身.

中的无穷多个点, 故为

,

则

的一个聚点. 总之

.

即不是

的聚点,

即

的一个聚点. 同理, b

也是

本身.

, 有

故

, 若对每一个正整数n

有

,

由实数集的稠密性知,

集合的一个聚点.

设

, 不妨设

【答案】设函数

当时, 取即可.

4． 设n 为整数, 若函数的充要条件是

, 则称f 是n 次齐次函数. 证明:f （x , y）是零次齐次

【答案】方法一 令函数求偏导数得

, 变换把f （x , y）变为, 即

. , 由复合

再由条件

得出

, 这意味着F 只是的函数, 即

或

, 所以

同样得到F 只是的函数. 5． 设

【答案】因

证明

.

作为自变量,

因为

方法二上面复合函数求偏导数时是把x , y 作为自变量,

也可以把

单调递增趋于无穷, 故利用Stolz 公式

得

6． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数,

即

则在区间I 上f （x ）与g （x ）只

可知h （x ）为I 上的常量函

（c 为某一常数）.

（c 为某一常数）. , 则在I 上有. 亦即

二、解答题

7． 设函数项级数

（1）证明此级数在（2）求其和函数.

【答案】（1）对每一个固定的x>0, 有

利用正项级数的比较判别法知, 但由于收敛.

（2）设由于级数的通项出. 因此, 如果级数

但由（1）知,

在在

,

而

是以

为公比的几何级数, 其和可以求

在

上收敛.

,

所以级数

在

上不一致

,

.

上收敛但不一致收敛;

上满足逐项求导定理的条件, 那么S （x ）便可求出. 上不一致收敛, 也就是说

在

上考虑上述问题

. 显然V n （x ）在

上有连续上不满足

逐项求导定理的条件. 为了克服这—困难, 我们在缩小的区间

, 使

的导数. 由

, 记

知,

是可得

特别地,

. 由x 0的任意性,

8． 研究函数

【答案】

在x=0处的各阶导数.

, 故f （x ）在

处连续

.

于是

, 一阶导数

在上一致收敛. 因此,

在上可逐项求导, 于

, 都有