● 摘要
数学生态模型解的渐近性是非常重要的研究课题。在已有的研究结果中，许多学者只考虑某些特定的具体模型，而在实际环境中，影响种群密度变化规律的因素是多方面的，其间的关系也呈复杂多样性。因此，对一般的生态模型的研究，就具有更广泛的理论和实际价值。生态模型中某些参数的变化会引起种群稳定性的变化，从而产生周期解（或极限环），即出现所谓的分支现象。这种现象在造血模型中显得尤为明显，这是因为生物种群的生理机能不仅受自身发展状况的影响，而且受周期环境的影响。本文首先研究了三类生态模型解的渐近性，其中包括正平衡态的存在性和稳定性、周期解的吸引性、持久生存域的存在性等，其次讨论了一类造血模型的分支问题。 种群的密度变化率往往很复杂，不但跟其当前时刻以及以前的某一时刻（时滞现象）的密度有关，而且其间的关系通常并不是简单的线性关系，而是非线性的。为更接近实际情况，第二章引入更为一般的密度制约函数，讨论具有广义密度制约的Logistic单种群生态模型。利用特征方程，得到了其唯一正平衡态局部无条件的充要条件。通过构造Lyapunov泛函和利用微分不等式，得到了其一致持久和全局吸引的充分条件。通过实例，验证了文中定理条件的可实现性。 现实世界中，生态系统及其参数受季节变化、食物增减及动物配偶习惯等诸多因素的影响，且其并非都是周期性变化。为更真实的反映这些变化规律，第三章研究具有扩散的捕食与被捕食渐近周期系统，该系统中的所有系数分别渐近于某一确定的周期函数。通过构造辅助系统和Lyapunov函数，证明了原系统、其相应的周期系统及辅助系统的一致持久生存性。应用Brouwer不动点原理，证明了其相应的周期系统及辅助系统分别存在唯一全局吸引的正周期解。利用比较原理，得到了原系统的所有正解均渐近于其相应的周期系统的周期解的充分条件。 已有文献表明，两个不稳定的斑块体系可以通过相互扩散而达到种群的持续生存。另一方面，自然界中的时滞现象往往与扩散同时发生。基于此，第四章对具有扩散和时滞的捕食系统引入Machaelis-Menten型功能性反应函数，研究具有多时滞和一般扩散项的两种群非自治生态系统。通过构造Lyapunov泛函，研究了系统的正不变集的存在性及解的有界性。进一步通过构造持久生存函数，得到了该系统的持久生存域，给出了其一致持久生存的充分条件。 第五章研究了一类具有连续时滞和干扰的造血模型。利用特征方程和分支理论，得到了该模型出现分支周期解的分支值。应用可解性条件及隐函数存在性定理，给出了该模型的非平凡周期解的形式及其近似分支周期解。