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一、分析计算题

1． （1）设S 为n 阶反对称阵，证明：

（2）若存在正交阵A ，使【答案】（1）因为

又因为

所以

故A 是正交矩阵. （2）欲使以只要取

必须下面证明：

即

即S 反对称. 事实上

又由A 正交知，所以

2． 设A 为n （

【答案】由两边取行列式得1.

若于是

则

矛盾，故

由式

得

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必为正交阵.

可逆，则必存在n 阶反对称阵S 、使

而可逆，所

的奇数）阶实方阵，若A 的每一个元素等于它自己的代数余子式，且至少有得

于是

则

注意到A 为奇数阶实方阵，劼

或

一个代 数余子式非零，求证1是A 的特征值.

由卵为奇数，则

3． 设

故1是A 的特征值. 求

的基与维数，其中

【答案】设得齐次线性方程组

将系数矩阵A 用行初等变换化为简化阶梯形矩阵：

方程组的一般解为

是自由未知量，取其基础解系为是

的基，

4． 设A 是数域K 上的一个m ×n , 矩阵，B 是一个m 维非零列向量. 令

（1）证明：W 关于

的运算构成

的一个子空间；

（2）设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r. 证明W 的维数（3）对于非齐次线性方程组

求W 的一个基. 【答案】（1）显然

因为存在

使

又

所以

即

此说明W 是

的子空间.

由题设，其解空间V 的维数

为

存在

使

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则

的极大无关组，胡

的基，且

由（6-5）知

（2）对线性方程

组

任取

所以是线性方程组的解.

显然，这是W 形到V 的一个双射.

又

则

这样，存在W 到V 的映射

，

存在

所以

使

且

可见W 与V 同构，从而有

（3）由（2）W 与如下齐次线性方程组解空间同构

.

该方程组的一个基础解系为：

其在之下原像

即为W 的一组基.

5． 计算n 阶行列式

【答案】

当时，有

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