2017年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设次型. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方法1 用排除法令 则 这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2 所以当 时，f 为正定二次型. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则当（ ）时，此时二次型为正定二 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 方法3 设对应的矩阵为A ，则 A 的3个顺序主子式为 所以当方法4令 时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 所以f 为正定的. 3． 设向量组 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ） 【答案】C 【解析】方法1:令 则有 由 线性无关知， 该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于 从而 线性无关，且 因为 所以向量组 线性无关. 线性无关. 4． 设是非齐次线性方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数， 则Ax=b的通解为（ ）• 【答案】B 【解析】因为中 不一定线性无关. 而 由于 因此 线性无关，且都是 的解. 所以 因此 不是 的特解，从而否定A , C.但D 故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B. 5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果则分块矩 阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 且 所以 ， 二、分析计算题 6． 设 都是多项式，而且
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