2017年西南交通大学力学与工程学院875高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
则（ ）.
【答案】B
【解析】由已知，有
于是
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 4． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
为空间的两组基，且
由②有
即 5． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
6． 试求以
【答案】设这时令
下证f （x ）在
上不可约. 由于f （x ）如果有有理根，必为±1，但±1都不是f （x ）的根.
上分解为两个二次式之积，即
其中
比较①式两边系数得
由⑤知时，
得
7． 设的值.
【答案】因为由
并且
是
与
与
不能同时为0, 所以
根据题目假设，它一定是一个2次多项式.
所以的一个最大公因式，因此
都是4维列向量，且4阶行列式
二、分析计算题
为根的有理系数的不可约多项式.
且以
为根，则根式
也一定是f （x ）的根.
故f （x ）不可能分解为一个一次式与一个三次式之积. 其次，如果f （x ）在Q （x ）上分解为两个二次式之积，那么必可在
或b=d=—1. 当b=d=l时，由②得所以在
也不可能.
因此上不可约，即为所求.
再由③得即矛盾. 当
不可能分解为两个二次式之积.
综上可知
的最大公因式是一个2次多项式，求t , u
能整除
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