2017年西南交通大学力学与工程学院875高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
是（ ）二次型.
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B. 方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（
【答案】D 【解析】
3． 设
均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若
线性无关，则
线性无关.
第 2 页，共 41 页
）•
. ）
【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
所以A 的特征值为3，3，0；而
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
则A 与B （ ）.
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
第 3 页，共 41 页
二、分析计算题
6． 设向量
（1）求向量组（2）求向量组（3）将向量组【答案】（1）将
的秩；
的一个极大线性无关组；
中其余向量表为极大线性无关组的线性组合.
按行排成5X4矩阵，并对其作初等行变换[非行交换]，有
故向量组（2）由上述得知
的秩为3.
为向量组
的极大线性无关组.
是V 中的两个向量，如果
必有
（3）由初等变换过程易知： 7． 设则
称
是V 上对称或反对称的双线性函数，
正交. 再设K 是V 的一个真子空间，证明：对
于
对所有
都成立. 则
考线性无关.
【答案】取K 的一个基令
其中
由
是待定系数. 考虑线性方程组
这是一个由
8． 设分块矩阵
（1）（2）
【答案】（1）因为两边取行列式得
第 4 页，共 41 页
个未知量，r 个方程的齐次线性方程组，它有非零解，设为
线性无关，则
显然，
且
故
其中A 、D 都可逆，证明：
相关内容
相关标签