2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
【答案】B
【解析】故
但当a=l时，
3． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】因为
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】D
【解析】
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 设A 为主对角线上元素为1, 一2, 1的三阶对角方阵，B 为三阶方阵且
求B.
【答案】由（4）得
可逆且由得
.
）
由此得B 为主对角线上元素为2，-4, 2的对角矩阵. 7
．
已
知
向
量
组
具有相同的秩，且
【答案】由但
线性无关秩
秩知
可由
与
向
量
•的值.
组
线性表示，求
线性相关.
线性相关，于是
其次，可由线性表示是的一个极大线性无关组，所以^可由
:线性表示，故线性相关. 从而
代入①，得
8． 设n 阶方阵A 的特征多项式式，这里a ，b 是常数.
【答案】若若为
则多项式
则
求
故其特征多项式为的次数大于零，由，
和的特征多项
是A 的全部特征值，则 是aE+bA的全部特征值，故其特征多项式
注意到的全部特征值为则的特征多项式为
9． 设V 为数域F 上的n 维线性空间，
明：W 为V 的子空间的充分必要条件是存在某个
【答案】充分性是显然的，下证必要性. 若
这
与
是V 的S 个子空间，
使得
都是W 的真子空间，由有限不覆盖定理，
矛盾，故存在某
个
证
使
得
10．设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且AB=BA, 证明：
【答案】因为