2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 2．
设
所以向量组
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
线性无关.
的一组基, 则由
基
到
基
线性无关.
【答案】（A ）
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
的解空间分别为
则
所以
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
5． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
二、分析计算题
6． 设
【答案】（1）因为
即n=3时结论成立. 设n=k时命题成立. 当n=k+l时，
所以
（2）由（1）知
以上各式相加得
7． 设为AB 和BA 的非零特征值，证明：AB 的属于的特征子空间空间
的维数相同. 【答案】设下面证明设则于是由由
和
线性无关，则线性无关，则
故类似可证
线性无关.
故
是
的基，贝!J ,
于是
故
线性无关.
和BA 的属于的特征子
证明
：
由哈密尔顿-凯莱定理知
8． V 是数域P 上一个3维线性空间，
求
【答案】先计算出
是它的一组基，f 是V 上一个线性函数，已知
就得到