2017年三峡大学理学院871高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
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【答案】B 【解析】
3． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 第 3 页，共 38 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则A 与B （ ）. C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 所以A 的特征值为3，3，0；而 二、分析计算题 6． 由行列式定义证明： 【答案】由定义，行列式中一般项为 其中是一个5级排列, 因为在这个行列式中 所以当 ；中有一个等于3或4或5时，此项为0. 但是 而且各不相同， 因此至少有一个大于或等于3, 由此可知每项都为0, 因而行列式0. 7． 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解. （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）对系数矩阵作初等行变换 第 4 页，共 38 页