2017年三峡大学理学院871高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 2．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
3． 二次型
A. 正定 B. 不定
是（ ）二次型.
C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
5． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
二、分析计算题
6． （1）
设为n 维线性空间V 的线性变换
，
且
与
互素，则
为其中
的最小多项式. 证明：如果
（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基多项式
由于从而有
并对于
下的矩阵为求的最小
的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.
使
（E 为恒等变换）
互素，所以存在多项式
【答案】（1）证明：由题设
这样，令同理可得
，有
则有
此说明所以由此可得又所以即综上可得（2）设由于取由（1）知这里又
可得A 的特征多项式无解，所以A 的最小多项式
显有两者互素.
分别与如下齐次线性方程组
的一个基础解系分别为
的解空间同构，且所以有
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