2017年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
若选故选B.
4． 设向量组
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 5． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
线性无关.
所以向量组均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
线性无关.
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
因此
线性相关，故选A.
二、分析计算题
6． 设W 是定义在闭区度为函数
定义实数
乘函1
为
（1）证明：W 是实数域R 上的向量空量；并指出什么函数是零向量；函数；
（2）证明：W 不是有限维向量空间.
【答案】（1） （i ）首先可证W 关于加法封闭和数乘封闭
.
那
么
数.
再验证加法应满足的4条算律：
规定零函数如下：
则
规定的负向量如下：
则
这4条中，这里只证d 武词理可证）
最后验证数乘应满足的4条算律：
也只证⑩式（⑦⑧⑨同理可证）
由
即证⑩武.
上所有实函数的集合，在W 上定义加法为：对
的负向量是什么
和仍为定义在闭区
间上的实函