2017年湖南大学信息科学与工程学院813高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设n 维线性空间V 上的线性变换A 一的最小多项式与特征多项式相同. 求证：
为v 的一个基.
【答案】据题设，设的最小多项式与特征多项式同为
则的前n-1个不变因子为1，1, …，1，第n 个不变因子为
容易知道，矩阵
使得
的不变因子也为为A , 即
所以存在V 的一个基
使得A 在这个基下的矩阵
现在4
2． 设
则
因此为V 的一个基.
设把D 的第j 行换为
1得
证明：
，因为
【答案】证法1（作加边行列式）
所以
证法2 （借助代数余子式，先算出D , 再求和）
因为
以上各项相加，得
又将D 的第j 列元素均换成1得
则
3． 已知矩阵A 的伴随矩阵
【答案】由已知得AB=B+3A，所以
两边左乘A*得
由于
所以
又因为
由式（2）可得
4． 设A 是实对称矩阵. 证明：当实数t 充分大后，
【答案】设
是正定矩阵.
B 的第k 个顺序主子式为
这是t 的一个k 次多项式，首项系数为1. 因此当t 大于某个数后，取等于
5． 已知
（1）求A 的不变因子，初等因子和最小多项式. （2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）用初等变换将
化为标准形，
中最大的一个，于是当
后，
是正定矩阵.
于是A 的不变因子是最小多项式为
（2）A 的若当标准形为
6． 设A 为正定阵
，
的极小值为【答案】取
则
初等因子是
均为n 维列向量，证明：二次函数