2018年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 盒中有n 个不同的球，其上分别写有数字
再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.
【答案】记X 为抽球次数，则X 的可能取值是又记此得
2． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.
【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得
3． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.
【答案】两个球颜色相同有两种情况:全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得
4． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下:
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为则要检验的假设为
因而，检验的统计量为
第 2 页，共 31 页
每次随机抽出一个，记下其号码，放回去
且有
由
则服从参数为p 的几何分布，因此
，
由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是，而
.
若取由于u 在
，则检验的拒绝域为，
由于u=—2.1落入拒绝域，故拒绝原假设.
成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
5． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为
所以
6． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数
（1）（2）（3）（4）称，
所以
于是样本中位数
的渐近分布为
所以
的渐近分布为所以相应的中位数为
（2）正态分布
（3）该分布的密度函数为所以
的渐近分布为
（4）该分布的密度函数关于y 轴对称，故相应的中位数为0, 所以
7． 设连续随机变量X 的分布函数为
试求 （1）系数A ;
第 3 页，共 31 页
的渐近分布.
可以看出
关于0.5对
【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布
的中位数为
的渐近分布为
（2）X 落在区间（3）X 的密度函数. 【答案】（1）由（2）
内的概率； 的连续性，有
. ’
，由此解得A=l.
（3）X 的密度函数（如图1）为
图1
8． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验
已知
样本容量.
【答案】由于本题中正态总体的方差已知，对于单侧假设检验问题，拒绝域的形式为其中
若取显著性水平
查表得知
取
若要求当
中的
时犯第二类错误的概率不超过0.05, 求所需的
即检验的拒绝域为即
，于是，当
时，检验犯第二类错误的概率应满足
由于是的减函数，因此只需满足即可，由此可解得.
9． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0, 1），试求以下Y 的密度函数:
（1）【答案】（1）
；（2）
, 所以
当
Y 的密度函数为时，
对上式两端关于y 求导得
所以Y 的密度函数为
第 4 页，共 31 页
；
的可能取值范围为
当y >0时，Y 的分布函数为