2018年首都经济贸易大学统计学院914概率论之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1．
设明:
由又因为故有
所以由马尔可夫大数定律知 2． 设
是来自
服从大数定律. 的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律. 【答案】不妨设
知
为绝对收敛级数，可记
否则令
因为
并讨论
即可.
为绝对收敛级数.
令
证
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
3． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
的特征函数为
所以
间的相关系数分别为
故且
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
5． 设二维随机向量
服从二维正态分布，且
先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
是实的偶函数.
4． 设随机向量
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知
所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
6． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
存在，试证明:
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，
则
且X 与Y 独