2018年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设满足
【答案】由于要使上述概率即
等价于要使是来自正态总体
的最小n 值.
所以有分布的
表
分位数
不大于
满足上述不等式的最小n 可用搜索法获得，如下表:
的一个样本.
是样本方差，试求
由此可见，当 2． 设二维随机向量对角线在坐标轴上.
就可使上述不等式成立.
在边长为1的正方形区域内服从均匀分布, 该正方形的中心在坐标原点,
；
；
（1）求（X , Y ）的联合密度（2）求X 与Y 的边缘密度（3）求条件密度（4）求【答案】 （1）
..
；
（2）
同理,
（3）当（4）
时,
,
所以
3． 设随机变量X 与V 相互独立，且
试证:
与
相互独立，且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
下求
的联合密度函数，因为
的反函数为
.
且变换的雅可比行列式为
所以，当
时，有
可见
可分离变量，故U 与V 相互独立，其中
两值之一，为总体的容量n
若检验拒绝域取为
，
4． 设正态总体的方差为已知值，均值，只能取或的样本均值. 考虑如下柃验问题
则检验犯第二类错误的概率为（1）试验证:（3）当
【答案】 （1）由于
，从而在，并且要求
给定时，有
时，样本容量n 至少应为多少？
（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？
，故检验犯第二类错误的概率为
这给出
，也即
，从而在
（2）若n 固定，当减小时，
就变大，由
为常量可知
就变小，
给定时，有
从而导致增大. 同理可知:当减小时增大.
这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.
（3）由
查表可得
，于是
将
代入，有
即n 至少应为468.
5． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，你认为他是否有诀窍？
【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题:
>
以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，验统计量可取为
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1）, 故检验拒绝域为
， 检验的p 值近似为
，由于样本量相当大，检