2017年北京市培养单位数学科学学院616数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
设级数
【答案】级数可记为
一个
又
都是及
时
，为
上正的递减且收敛于零的函数列，每一个
在
设
为收敛于零的函数列，
故
都是则
又对每一个
上一致收敛，从而也必收敛.
存在N , 当n>N时，有
故
从而又从而
3． 证明
：
【答案】令
则
于是
在
时，
4． 试证明：函数
阶偏导数) 。
【答案】F 的等值线为故等值线在点的法向量
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上的单调函数，则在
一致有界. 由每
上不仅收敛，而且一致收敛.
上的单调函数可得
是单调的，由狄利克雷判别法可知，原级数在
2． 证明：若正项级数
收敛，且数列单调，则
【答案】因为正项级数又由
单调可知
收敛. 故由柯西收敛准则，任意的正数
发散) ，从而
必单调递减(否则级数
故
内严格递增
即在点
故f (x )
在内严格递增，
当
的梯度恰好是F 的等值线在点的法向量(设F 有连续一，它在点的切线方程为
. 即结论成立.
二、解答题
5． 设
求
【答案】方法一：由配方得到
其中原式
方法二：因为被积函数的定义域为
所以可设
又注意到
故有
6． 在下列积分中改变累次积分的顺序：
【答案】
(如图1)
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作变量代换则有
从而
图1
(2)
(如图2)
图2
(3)
(如图3)
图 3
(4)
(如图4)
图4
7． 在曲线
上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是
上点P 坐标为
即曲线
由由方程组
在Q
点的切线斜率
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在P 处切线斜率的四倍.
【答案】设曲线切线方程为
交点为
得该曲线过点P 的切线斜率
解出切线与曲线的
因此