2017年北京市培养单位数学科学学院616数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
【答案】(1
)
足拉格朗日中值定理的条件，故至少存在一
点
于
是
(2
)
值定理的条件，
于是存在
2． 设函数f (x ，y ) 在点
(1) 试证：存在
的邻域(2) 试证：得
(即将y 视为常数，对f (x , y ) 关于x 求驻点). 也就是说，找由方程，
在点又
由
时
(2) 由定义及f 在点
的邻域内满足隐函数存在定理的全部条件，因此在
可确定惟一的连续可微函数x=x(y ) 满
足及其连续性知，存在充分小
的g (y ) =f(x (y ) , y ) .
的可微性，有
其中1
1时注意到
因此
是有意义的). 及
(因为x=x(y )
在
的小邻域内连续，所以当
使
当
由已知条件，方程点
所确
的邻域内二次连续可微，且
使对任何
，
令
使得
则
又因
在
故
上满足拉格朗日中
故
由
知
因为
使
得
因
而
所以
在
上满而故
能求得f (x , y ) 关于x 的一个极小值g (y ) ;
【答案】(1) 对给定的y ，要求f (x ，y ) 关于x 的极小值，按照求极值的步骤，应对y 找出x 使定的隐函数x=x(y ) , 使得
的某个邻域内由方
程
. 这表明f (x ，y ) 关于x 在点(x (y ) , y ) 处取得极小值，记为g (y ) , 即
有界，由式(1) 可知，
3． 证明：
【答案】将原不等式变形为
这样就将问题转化为求令
解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，
下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为
综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为
4． 设
证明：
【答案】由拉格朗日中值定理知，
使得
因为上式右端大于0, 所以下面只需答:令
时，
当
原
不等式成立.
时
，
所以是
的最大值点. 于是
从而
则
显然
是
在
上的唯一驻点. 因为当
即
，可得驻点
此时
因此，f (x ，y ) 在y=0上的
和
所以f (x ，y ) 在D
的内部最大值为
在区域
上的最大值.
成立.
同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为
二、解答题
5． 求下列极限：
【答案】（1）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
（2）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
6． 设
满足方程组
这里所有的函数假定有连续的导数.
(1) 说出一个能在该点邻域内确定x ，y ，z 为u 的函数的充分条件； (2)
在
【答案】⑴设
由已知条件
内连续；
内具有一阶连续偏导数；
故当
时，原方程组能在(2)
在
的邻域内确定
为U 的函数.
的情形下，上述条件相当于什么？
的情况下，上述条件相当于
即
两两互异.