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一、分析计算题

1． 已知

问【答案】

怎样的有理数，都不能使所以

从而设

为直和

所以问题转化为求如上方程组系数行列式不为零的条件，余下过程略去，请自己解答。

2． 设列向量

【答案】设但反之，设

则

即

3． 设A 为

矩阵. 证明：

【答案】令

则由分块矩阵乘法与矩阵乘满秩方阵秩不变可知：

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与

是直和当且仅当取何值？

是直和

为常数。即

无关。

与

而无论A 为

都是线性无关的向量组。

为线性方程组

则由于

的解向量. 证明：

故

的解•

由此即得（17）.

4． V 是数域P 上一个3维线性空间，

求

【答案】先计算出

5． 设A 是n 阶方阵，则秩

就得到

当且仅当存在n 阶非零方阵曰，使得AB=BA=0.

结合如果秩

得，

秩

不妨令秩（A ）=r, 则存在可逆矩阵P 、Q 使

这样如取

则有

是它的一组基，f 是V 上一个线性函数，已知

【答案】由于存在非零方阵B , 使AB=0, 所以

且 AB=BA=0.

6． 设X 、Y 是两个n 维向量，A 为n 阶实方阵，证明：

（1）若A 半正定，则（2）若A 正定，则

【答案】（1）因为A 半正定，故存在正交阵T ，使

由柯西公式得

（2）因为A 正定，故存在正交阵T ，

所以

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取

则

所以

7． 线性空间件是存在

【答案】设

（闭区间

上全体实连续函数）内函数

可逆.

可逆，对n 用数学归纳法，当

使

可逆，现在令

按最后一列展开，设为

其中

•从 而由（3）知，

阶方阵

使

则对任

意

即

分别代入上式

得因此.

线性无关.

其中k 为一常

知，

得

比较两端因此

的系数，得

得证.

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线性无关的充要条

时结论

使n 阶方阵

（在实数域上）线性无关：

显然成立，假定n=k时结论成立，即存在

于是

（因为

可逆，得证.

，

从而存在

线性无关）使

反之，设A 可逆且有实数

其

中但A 可逆，

故

8． 证明：如果多项式f （x ）对任何数a , b都有数.

【答案】证法I 若设因为若

，则对

由

則结论显然. 故下设. 且

则由

下再证n=l.

矛盾.