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一、计算题

1． 试用势能偏导数定理求图示刚架A 点支座反力F 1，设A 点支座水平位移为变量位移

。

图1

【答案】忽略横梁的轴向变形，当支座A 有水平位移相等，并取

作为基本未知量，则柱端剪力为

时，如图2所示。则各柱顶水平位移

所以，刚架的应变能为

柱的应变能为

各柱应变能之和，即

图2

荷载势能则刚架的势能为，应用势能偏导数定理，解得

2． 用力矩分配法计算图示结构，并作M 图。（循环两次）

图

【答案】（1）求转动刚度，令

EI=1

（2）求分配系数： 结点B

:结点C

:

（3）求固端弯矩：

在C 点的外力最大，所以先放松C 点，固定B 点. 分配如下：

表

同时有：所以

作弯矩图如下：

图

3． 图（a ）所示振动系统中各杆刚度E1为常数，CD 杆中点处固定了一个集中质量m 。（1）试求出其自振频率（各杆自身的质量及杆的轴向变形忽略不计）。（2）如果将CD 杆换成一根抗弯刚度无穷大，且具有均匀分布质量密度的杆，如图（b ）所示，试列出系统自由振动微分方程，并求出其自振频率（其他杆自身的质量忽略不计）。

图

【答案】（1）在质量处加一竖向单位力，画出弯矩图如图（c ）所示。求柔度系数：

自振频率：

其任意时刻

（2）由于CD 杆为分布质量，其惯性力为三角形分布力，假设CD 杆的转角为图（f ）中，先用力矩分配法或位移法画出C 点单位位移引起的弯矩图，再求出最后在图（e ）中对D 点列力矩平衡方程：

方程整理后即为振动微分方程：

的惯性力和位移图见图（d ）。原结构可以化为图（e ），其中的弹簧刚度系数按图（f ）求得。