2017年东北大学理学院432统计学[专业硕士]考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 如果
且.
有
故当即对任意的
时, 有
有
于是有
从而 2． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
故
3． 设
则
即
更有效.
知两者均为的无偏估计.
成立, 结论得证.
试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的
事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
4． [1]如果
试证: （1）（2）[2]如果
【答案】（1
）因为
服从大数定律.
是直线上的连续函数, 试证:
时
,
,
故当
有
成立. ）, 使
有
即
（2）先证
明
成立, 进一步由
. 对任意
的
可得所以又有
取M 足够大（譬
如
时, 有
成立, 对取定的M , 存在N , 当
这时有
从而有
由即[2]若对任意的
的任意性知
成立.
是m 次多项式函数, 即
取M 充分大,
使有于是有
对取定的M ,
因为
是连续函数,
所以可以用多项式函数去逼近
, 使得
当
所以存在
因为
并且在任意有限区
时,
有使当
间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项
式
对取定的m 次多项式
时, 有
同理可证由上面（1）得
则由题[1]知有
,
又选取
下证一般情况,
充分大,
使当
时,
有
又因为
当又因为
时, 有
且
所以
从而有
由
的任意性即知
, 结论得证.
的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是
的UMVUE , 故
且对任意一个于是
因此
6． （1）设布函数
其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
做变换
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
5． 设分别是UMVUE.
【答案】由于
满足
是
的
由判断准则知
是和
的UMVUE.
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差
的分
时, 样本极差的分布函数.
其逆变换为
雅可比行列式绝对值为,
于是
与
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