2017年东北大学理学院432统计学[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
【答案】
由于总体
均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
2． 设随机变量量.
【答案】
令
, 两边取对数, 并将
所以
而
正是
的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱
, 则由X 的特征函数
..
展开为级数形式, 可得
可
得
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
, 证明:当时, 随机变量按分布收敛于标准正态变
收敛的方法知结论成立.
3． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则
【答案】二项分布因为而
4． 设
的特征函数为, 所以当
时,
则
正是泊松分布的特征函数, 故得证.
，试证
：
其中
,
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为
单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是的密度函数.
5． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】
泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
即的后验分布为共轭先验分布.
6． 设随机变量序列证:
【答案】这时
7． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且仍为独立同分布, 且存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
试
由辛钦大数定律知结论成立.
, 它仍是随机变量. 在
也是常数, 故有
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
8． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
二、计算题
9． 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
【答案】记A 为事件“任选一人是色盲患者”，记B 为事件“任选一人是男性用贝叶斯公式
10，，．在垫片的耐磨试验中关于磨损率有四个样本它们的样本方差与其自由度分别为
现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断.
与样本量误差均方和