2017年南京师范大学教师教育学院878数学学科基础[专业硕士]之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：函数
【答案】因为由于当
1时，
极限不存在，因而z (x ，y ) 在点(0, 0) 关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.
2． 设f (x ) 在在
【答案】
其中
因为
在
3． 已知
是
上的正的连续函数，且
不等式得
从而
由于则即得
收敛，所以
求证：
单调递减.
代入①式，得
上一阶可微，且
在
上单调递减，试证：
亦
上单调递减.
在点(0, 0) 连续但偏导数不存在.
所以函数
在点(0, 0) 连续.
【答案】由
4． 应用凸函数概念证明如下不等式：
(1) 对任意实数a ，b , 有(2) 对任何非负实数a ，b ，
有【答案】有
上的凹函数. 故由定义可知，对任意非负实数即
5． (1) 证明若
(2)
若取
则当
(2) 不一定成立. 例如，取
则
这时
6． 设子列.
【答案】因为取
则
是无界的，所以对使得
则侧
因此
取
则
则则使得
使得
使得
恒成立，故
是
上的凸函数，令定义中的当有
时
.
从而
则
是
因，
存在，则存在，试问是否成立
，则对任给的时，
有
存在于是
，
使得当
时，
，
即
故
【答案】(1) 设
存在，但不存在.
是一个无界数列，但非无穷大量. 证明:存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛
使稩
使得
使得
不是无穷大，
所以
对任意正整
使得
为无穷大量.
因数列
于是得一有界子列
. 由致密性定理知，中存在收敛子列.
二、解答题
7． 求下列不定式极限：
【答案】 （1）
因为
所以
因为
所以