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一、证明题

1． 设

【答案】

2． 证明公式：

这里数.

【答案】设S 为球面

则有

考虑新坐标系

它与原坐标系

共原点，

且

在新坐标系

中，

则

3． 设

【答案】因为

从而

在原点的某邻域内连续，且

而

所以

4． 证明:设在

⑴若

则

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证明

在时为连续函

平面为坐标系的平面

，

轴过原点且垂直于该平面，于是有

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：

证明

上连续

，

(2) 若

收敛，则

【答案】(1) 令

则

于是有

(

在

之间) ，令

有

(2) 由子

收敛，故对任给

有

令

得

5．

设

是周期为

的连续函数，且其傅里叶级数

处处收敛，求证这个傅

里叶级数处处收敛到

【答案】设

由条件知由费耶定理，知

利用极限的性质，得一致收敛于

所以

则

令

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故收敛于

为闭集；若E 为闭集，则为开集.

中至少有一个聚点不属于

因此，U

6． 证明：开集与闭集具有对偶性一若E 为开集，则设这个聚点为A , 则必有

【答案】(1) 设E 为开集，假设不是闭集，则由闭集定义知(A ) 中不含有Ee*的点，这与A

是

因为E 为开集，所以存在点A 的某邻域U (A ) ，使

的聚点矛盾，因此，若E 为开集，则为闭集.

(2) 设E 为闭集，假设不是开集，由开集定义知中至少有一个点不是为B ，则根据内点的定义知，对点B 的任何邻域U (B ) 都有U (B ) 不含于点，因此，B 为E 的聚点，但与

的内点，设这个点

即U (B ) 中含有E 中的

是闭集矛盾，因而，若E 为闭集，则为开集.

二、解答题

7． 试求心形线

【答案】所求平均值为

8． 求幂级数

【答案】由于

因此另外

因此幕级数

9． 设

（2）求【答案】⑴故

数，得

即

（2）把x=0代入等式得

又因为.

所以

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上各点极径的平均值。

的收敛域及和函数.

的收敛域

的收敛域为

及和函数为

（1）证明y 满足方程

即当

时，原命题成立. 对

两边求n 阶导

故当时，原命题成立.