2017年南京农业大学理学院628数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为
内的递增函数. 证明:
与
【答案】
即
对
在在时有
证明于是
不存在.
中存在有理数
不存
根据柯西准则，
内单调递增，
取
内有上界，从而有上确界，记
使
得
故
类似可证
2． 设D (x ) 为狄利克雷函数
，
【答案】
令
和无理数
，
使得在.
3． 按定积分定义证明
：
【答案】
对于
为
从而
可取为任何正数，只要使
就有
根据定积分定义有
4． 证明：点列
即
故从而同理充分性设
侧对任给的
存在N , 当
时，
收敛于
的充要条件是收敛于
则对任给的
存在N ，
当
时
的任一分割
任取
相应的积分和
对任意的
对
取
则
当由
知
都存在，且
由上确界定义
知
由有理数和无理数的稠密性可知，在
【答案】
必要性设点列
因此故点列
5． 设
收敛于或
则
也即
为此，令
由于
故只
【答案】欲证上式，即证需证f (X ) 严格单增即可
.
再令
则
令
解得X=l，由所以
或
由此得f (X ) 严格单增，即证.
6． 设
【答案】由上确界定义，
对
证明：存在
使使
又由
由迫敛性得
成立.
知g (X ) 在点X=1取极小值，即
二、解答题
7． 计算下列向量场A 的散度和旋度：
【答案】
(2) 同样可证
8． 设
在区域D 上连续，试将二重积分
化为不同顺序的累次积分：
所
所确定的区域；(4)
(1) D 由不等式
确定的区域；(3) D由不等式
【答案】(1) 积分区域D 如图
1
所确定的区域；(2) D由不等式
图
1
(2) 积分区域D 如图
2.
图
2
(3) 积分区域D 如图
3
图
3
(4) 积分区域D 如图4
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