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一、证明题

1． 证明：若

【答案】

在区间上一致收敛于0, 则存在子列

使得

在，上一致收敛.

使得

在上一致收敛于0,

所以对任意的自然数

总存在自然数

而级数

2． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且

【答案】(反证法) 假设令

则必然存在某个

使得

这与题设矛盾，所以原命题成立.

3． 证明

【答案】对任意的

函数

在取

4． 证明:

若函数

在

【答案】设函数

在区间

使得在区间

上连续

，

且

上有最大值M ，最小值m , 不妨设

由闭区间上连续函数的介值定理，可知在

内至少存在一点

使得

当时

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收敛，由魏尔斯特拉斯判别法，得级数在上一致收敛.

证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.

那么

由不等式

得

. 限制’

时

，

时，

有

即

. 当

时，其

中故

上是严格减函数. 于是

当

，

则当

则

则对

内至少存在一点

时，取即可.

5． 设为开集

因为

均为可微函数，证明：在处可微，所以

也是可微函数，而且

【答案】对

又

由

在处可微，知f

在所以

处连续，从

而

在附近有界，

即

使

这表明， 6． 设

【答案】由

在处可微，且

由的任意性，知

证明：数列

在上可微，且

收敛，且其极限为

知且

又因为

有下界的. 所以，

数列边求极限，得到

收敛.

令

解得

由

或

知

即

数列是单调递减

两

(极限保号性) . 对

舍去负根，因此

二、解答题

7． 计算

其中S 为圆锥表面的一部分

这里为常数【答案】由于

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则

8． 设

【答案】

存在的充要条件是

且仅当

9． 求下列不定积分：

于是

于是

要使这个等式成立，当

试确定

的值，使在

处可导.

【答案】⑴令

则

（2）令

于是

则

取

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