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一、证明题

1． 设f 在

存在最小值定理知

若若

则

上连续，且对任何使得

在

上连续可知命题得证.

使得

这与m 是

2． 若级数

证明级数【答案】由

与

在

上的最小值矛盾. 于是

即存在

使得

在

上也连续. 由连续函数的最大、

上有最小值. 设这个最小值为

存在.

使得

【答案】由f (x ) 在

由题设知存在

都收敛，且成立不等式

都发散，试问

又级数

收敛，

从而与

一定发散吗？ 与收敛.

若

都收敛，故正项级数

都发散

.

收敛.

如果取

收

未必发散.

如

为发散的正项级

，也收敛. 若

可得满足不等式且

敛，

由比较原则得正项级数数，则必有 3． 设

【答案】

发散.

证明

均发散，

但

介于1与之间.

由题设

于是原命题得证.

4．

设

是闭区间[a, b]上的连续可导函数.

记

证明

：

【答案】用反证法：若但

而在某个

是有限集.

内亦有

于是当n 充分大时，

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可知

假设

且

无限，则

介于

5． 证明：

与x 之间，这与中值定理矛盾. 所以是有限集.

【答案】设

则

6． 设

证明：

【答案】(1)

(2) 用数学归纳法证明. 由(1) 知，当n=l时，命题成立. 假设当n=k时，命题成立，则当n=k+l时，

即当

时，命题也成立. 于是(2) 的结论得证.

二、解答题

7． 试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】在柱面坐标系下，用示为

的平面截立方体，截口是正方形，因此，单位立方体可表

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在球面坐标系下，用

的平面截立方体，截口是长方形，因此单位立方体可表示为

其中

8． 求下列函数在指定点的高阶导数：

【答案】⑴

9． 计算四重积分

【答案】作变换则得

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其中