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一、证明题

1． 设f 以为周期且具有二阶连续的导函数, 证明f 的傅里叶级数在上一致收敛于f.

【答案】因f （X ）是以为周期的具有二阶连续导数的函数, 故f （x ）, f （x ）可展开成傅里叶级数, 不妨设

要证f （x ）的傅里叶级数在

上一致收敛于, f 只需要证明级数

收敛, 则由定理可知f （x ）的傅里叶级数一致收敛于f 由周期性可得所以

由贝塞尔不等式知级数

收敛, 再由

收敛知

收敛, 所以f 的傅里叶级数在

上一致收敛于f

1收敛, 进而

因此

二、解答题

2． 在曲线x=t, y=t, z=t上求出一点, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4,

【答案】对曲线上任意一点（x , y , z ）, 有设曲线在即

2

3

处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有

解之得

或

所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或

3． 设算

并求

为可微函数

,

在

处的值.

并有方程试对以下两种形式分别计

（1）由方程确定的隐函数（2）由方程确定的隐函数【答案】令（1）

则

（2）

4． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）设

则

, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数发散, x=-l

时级数

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）.

设

, 则

故

（2）设

当

则

时, 原级数可化为级数

故收敛半径

发散, 故原级数的收敛域为

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其中

又

故

（3

）设

原级数可化为

因级数

的收敛域为（﹣1, 1）, 所以

原级数的收敛域为（0,

2）

, 所以

（4

）设

则

故1, 1].

设

时级数收敛, 又

时由莱布尼茨判别法可知级数收敛, 故原级数收敛域为[﹣

故

又

所以

从而

5． 据理回

【答案】

（1）何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质？